Bernsteinpolynom

Innanføre numerisk analyse er bernsteinpolynom eit polynom på bernsteinform, altså eit polynom skrive som ein lineærkombinasjon av bernsteinbasispolynom.

Ein numerisk stabil måte å rekna ut eit polynom på bernsteinform er de Casteljau-algoritmen.

Definisjon og motivasjon

Eit polynom av grad n kan skildrast som:

$f(t)=\sum _{i=0}^n{a}_i{t}^i$

Altså ein lineærkombinasjon av den monomielle basisen, som er mengda av desse basisfunksjonane $t^i$ for alle $i=\{0,\cdots ,n\}$. Vektorrommet for alle polynom av grad n er utspent av denne basisen. Det finst ein alternativ basis for dette vektorrommet som er gjeven ved bernsteinbasispolynoma $B_i^n(t)$ for alle $i=\{0,\cdots ,n\}$. Eit polynom $p(t)$ uttrykt ved denne basisen er kjent som eit bernsteinpolynom:

$p(t)=\sum _{i=0}^n{c}_i{B}_i^n(t)$

$p(t)$ er her eit bernsteinpolynom, definert som ein lineærkombinasjon av bernsteinbasispolynoma $B_i^n(t)$ for alle $i=\{0,\cdots ,n\}$ og $c_i$-ane er kjende som kontrollpunkt. Kontrollpunkta avgjer indirekte forma til polynomet.

Bernsteinbasispolynom

Bernsteinbasispolynom er definerte som:

$B_i^n(t)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})t^i(1-t{)}^{n-i}$

Desse er lineært uavhengige. Dei første frå $B_0^0(t)$ til $B_3^3$ er:

$\begin{array}{cc}{B}_0^0(t)& =1,\\ B_0^1(t)& =1-t,& B_1^1(t)& =t\\ B_0^2(t)& =(1-t{)}^2,& B_1^2(t)& =2t(1-t),& B_2^2(t)& =t^2\\ B_0^3(t)& =(1-t{)}^3,& B_1^3(t)& =3t(1-t{)}^2,& B_2^3(t)& =3t^2(1-t),& B_3^3(t)& =t^3\end{array}$

Eigenskapar hjå bernsteinbasispolynom

Derivert

$\frac{\partial }{\partial t}{B}_k^n(t)=n(B_{k-1}^{n-1}(t)-B_k^{n-1}(t))$

Rekursjonsformel

Bernsteinbasispolynom tilfredsstiller den følgjande rekursjonsformelen:

$B_i^n(t)=t{B}_{i-1}^{n-1}(t)+(1-t)B_i^{n-1}(t)$

Som følgjer frå at $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})$

Sjå òg

• Bezier-kurve