Fraksjonskropp

Fraksjonskroppen eller brøkkroppen til ein heiltalsring R er den minste kroppen som har R som ein underring. Til dømes er kroppen $\mathbb{Q}$ av rasjonelle tal brøkkroppen til heiltalsringen $\mathbb{Z}$ av heiltal; me skriv $\mathbb{Q}=\frac{\mathbb{Z}}{\mathbb{Z}-\{0\}}=\{\frac{m}{n}:m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{Z}-\{0\}\}$.

Konstruksjonen av ein fraksjonskropp

La R vera ein kommutativ ring med additiv identitet 0. Då er mengda $S=R-\{0\}$ multiplikativt lukka. Me definerer ein ekvivalensrelasjon ~ på $R\times S$ slik at :$(a,s)$ ~ $(b,t)$ dersom og berre dersom $at=bs$. Vidare let me $\frac{a}{s}$ vera ekvivalensklassa til $(a,s)$. Då er $K=\{\frac{a}{s}:a\in R,b\in S\}$ fraksjonskroppen til R, med operasjonane

$\frac{a}{s}+\frac{b}{t}=\frac{at+bs}{st}$ og

$\frac{a}{s}\cdot \frac{b}{t}=\frac{ab}{st}$

og nullelement 0/1 og multiplikativ identitet 1/1.