Funksjonallikning

Ei funksjonallikning er ei likning som uttrykkjer eit tilhøve mellom verdien til ein funksjon (eller funksjonar) i eit punkt med verdi i andre punkt. Nemninga funksjonallikning blir vanlegvis berre brukt for likningar som ikkje utan vidare kan reduserast til algebraiske likningar, ofte fordi to eller fleire funksjonar blir sett inn som argument i ein annan funksjon.

Døme

• Funksjonslikninga

$f(s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)$

er tilfredsstilt av Riemann-zeta-funksjonen ζ. Stor Γ syner til gammafunksjonen.

• Desse funksjonallikningane er tilfredsstilte av gammafunksjonen. Gammafunksjonen er ei unik løysing til systemet med desse tre likningane:

$f(x)=\frac{f(x+1)}{x}$

$f(y)f(y+\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi }}{2^{2y-1}}f(2y)$

$f(z)f(1-z)=\frac{\pi }{\sin (\pi z)}$       (Euler sin refleksjonsformel)

• Funksjonallikningane

$f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=(cz+d{)}^{k}f(z)$

der a, b, c, d er heiltal tilfredsstiller ad − bc = 1, i.e. $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=1$, definerer f som ei modulform med orden k.

• Forskjellige døme som ikkje nødvendigvis omfattar «kjende» likningar:

$f(x+y)=f(x)f(y),$ tilfredsstilt av alle eksponesialfunksjonar

$f(xy)=f(x)+f(y)$, tilfredsstilt av alle logaritmiske funksjonar

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ (Cauchys funksjonallikning)

$f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]$ (kvadratisk likning eller parallellogramlova)

$f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2$ (Jensen)

$g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)g(y)]$ (d'Alembert)

$f(h(x))=f(x)+1$ (Abel-likninga)

$f(h(x))=cf(x)$ (Schröder-likninga).

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Functional equation» frå Mal:Wikipedia-utgåve, den 13. september 2011.

Bakgrunnsstoff

• Mal:Språkikon Functional Equations: Exact Solutions hos EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Mal:Språkikon Functional Equations: Index hos EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Mal:Språkikon IMO Compendium Mal:Webarchive tekst om funksjonalligninger i problemløsing.