Irrasjonale tal

Irrasjonelle tal er reelle tal som ikkje kan skrivast på brøkform som $\frac{m}{n}$, der m er eit heiltal og n eit naturleg tal. Døme er $\sqrt{2}$ og $\pi$. Mengda av irrasjonelle tal vert stundom på symbolform uttrykt som $ℝ-\mathbb{Q}$, men formar ikkje ein vanleg algebraisk struktur. Dei rasjonelle tala er ei tett, utellbar og ikkje-samanhengande delmengd av dei reelle tala.

Eigenskapar

Det finst irrasjonelle tal

Dersom N ikkje er eit kvadrattal, så er $\sqrt{N}$ eit irrasjonelt tal. Spesielt er $\sqrt{2}$ irrasjonelt. Eit geometrisk argument for dette vart funne for 2500 år sidan av pytagorearen Hippasus av Metapontum (eller, det er i alle fall han som har vorte tilegna funnet). Eit meir moderne prov er ved motsegn: Anta at √2 = m/n, der m og n er naturlege tal (me veit at √2 er positiv) og m + n minst mogleg. Då er også $\sqrt{2}=\frac{2n-m}{m-n}=\frac{2n-\sqrt{2}n}{2n-n}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$, men $2n-m+m-n=n<m+n$.

Anta at det finst naturlege tal m og n slik at $\sqrt{2}=m/n$. Me vel m og n slik at n er minst mogleg. Då må $2n^2=m^2$, så 2 må dela $m^2$. Då må 2 også dela m, så 4 deler $m^2$ og dermed også $2n^2$. Det fylgjer at 2 også deler $n^2$ og dermed også n, så både m og n er partal. Dette vil seia at me også har $\sqrt{2}=(m/2)/(n/2)$ med naturlege tal m/2 og n/2. Dette er eit motsegn, sidan her er teljaren endå mindre enn i brøken me starta med.

Eit anna irrasjonelt tal er $log2$. Me har igjen eit motseiingsprov:

Anta at et finst naturlege tal m og n slik at $\log 2=m/n$. Me vel m og n slik at n er minst mogleg. Då må $10^{m/n}=2$, så $2^m\cdot 5^m=2^n$. Sidan 2 er eit primtal, så må då m = 0 og dermed log 2 = 0, noko som ikkje er tilfelle.

Det skal seiast at begge desse prova fyrst vert fullstendige når me har vist at dei gjevne tala faktisk eksisterer. For kvadratrota av 2 finst eit enkelt, geometrisk argument: Hypotenusen x til ein rettvinkla trekant med katetar 1 og 1 tilfredsstiller 2 = x². Sidan hypotenusen eksisterer, så eksisterer dermed også ei kvadratrot til 2. Eit argument som byggjer direkte på komplettleiksprinsippet finst også: Studerer me mengda A = {x : x ² < 2}, x reelle tal, så må denne ha ei minste øvre grense sup A. Det er mogleg å visa at sup A korkje er med i A eller A = {x : x ² > 2 og x > 0}, så difor må (sup A)^2 = 2. (Dersom sup A er med i A, så finst det eit tal høgare enn sup A som også er med i A', og dersom sup A er med i A', så finst det eit tal lågare enn sup A som også er med i A'. Dette strid mot at sup A er den minste øvre grensa til A.)

Dei irrasjonelle tala dannar inga vanleg algebraisk struktur

Dei irrasjonelle tala er korkje lukka under addisjon eller multiplikasjon:

• $(2+\sqrt{2})+(2-\sqrt{2})=4$ er ikkje eit irrasjonelt tal, sjølv om begge addendane er det.
• $(2+\sqrt{2})\cdot (2-\sqrt{2})=2$ er ikkje eit irrasjonelt tal, sjølv om begge faktorane er det.

I tillegg kan me observera at det heller ikkje er tilfelle at dersom a og b er irrasjonelle, så er nødvendigvis $a^b$ irrasjonell. Me ser på ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$:

• Dersom ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ er rasjonell, så er resultatet vist umiddelbart.
• Dersom ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ er irrasjonell, så er $({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{)}^{\sqrt{2}}=2$ det ettersøkte moteksemplet.

Dei irrasjonelle tala har inga periodisk desimalutvikling

I motsetnad til rasjonelle tal har ikkje irrasjonelle tal ei periodisk desimalutvikling. Beviset går ut på å gå ut frå at ei slik desimalutvikling finst og visa at då må talet vera rasjonelt.

Sjå også

• Inkommensurabilitet