Kronecker-delta

Det matematiske symbolet Kronecker-delta ${\delta }_{ij}$, som vart innført av Leopold Kronecker, er ein funksjon i to variablar. Det vert òg kalla Kronecker-symbol og delta-funksjon vert og nytta.

Definisjon

Kronecker-delta vert definert som:

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& \text{for }i=j\\ 0& \text{for }i\ne j\end{array}$

der i og j er element i ei mengde $I$.

Eigenskapar

• Kronecker-delta vert ofte skiven som

$\delta ={\mathrm{1}}_D:I\times I\to \{0,1\}$,

når den står for den karakteristiske funksjonen ${\mathrm{1}}_D$ i ei diagonalmengd.

$D=\{(i,j)\in I\times I:i=j\}$.

Døme på bruk

• Innan lineær algebra vert symbolet nytta for å uttrykka einheitsmatrisa $n\times n$ som $({\delta }_{ij}{)}_{1\le i,j\le n}$. Til dømes kan ei 3x3 einheitsmatrise uttrykkast som:

$({\delta }_{ij}{)}_{1\le i\le 3,1\le j\le 3}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

• Kronecker-delta kan nytta for å uttrykka skalarproduktet av to orthonormale vektorar:

$e_1,\dots ,e_n$ als $⟨e_i,e_j⟩={\delta }_{ij}$.

• Innan digital signalhandsaming og reguleringsteknikk vert symbolet nytta for å representera ein impuls:

$\delta (n)=\{\begin{array}{cc}1,& n=0\\ 0,& n\ne 0\end{array}$

Sjå òg

• Levi-Civita-symbol.