Laplace-operator

Ein laplace-operator er i matematikk og fysikk ein differensialoperator, kalla opp etter Pierre-Simon de Laplace, som er eit særleg viktig tilfelle av ein elliptisk operator som kan nyttast på mange område. Han vert skrive Δ, ∇² eller ∇·∇. I fysikk vert han nytta i modellering av bølgjeforplanting, varmestraum og væskemekanikk. Han er sentral i elektrostatikk der han representerer ladinga til eit visst potensial. Han er ein viktig del av laplacelikninga for å bevare potensial, poissonlikninga for tyngdepontensialet tilknytt ein viss masse, og i helmholtzlikninga for vibrasjonane til ein sylinder. I kvantemekanikk representerer han den kinetiske energileddet i schrödingerlikninga. I matematikk vert funksjonar som inneheld forsvinnande laplaceoperatorar kalla harmoniske funksjonar. Laplaceoperatorane er kjernen i hodgeteori og resultatet av de Rham-kohomologi.

Definisjon

Laplaceoperatoren er ein andreordens differensialoperator i n-dimensjonalt euklidsk rom, definert som divergensen ($\mathrm{\nabla }\cdot$) til gradienten ($\mathrm{\nabla }f$). Så om f er ein dobbelderiverbar funksjon med reell verdi, så er laplaceoperatoren f definert som

$\Delta f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f,$   (1)

Tilsvarande er laplaceoperatoren f summen av alle dei ublanda andregrads partiellderiverte i kartesiske koordinatar $x_i$:

$\Delta f=\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i^2}.$   (2)

Som ein andreordens differnsialoperator mappar laplaceoperatoren C^k-funksjonar til C^k−2-funksjonar for k ≥ 2. Uttrykket (1) (er tilsvarande for (2)) definerer ein operator Δ : C^k(Rⁿ) → C^k−2(Rⁿ), eller meir generelt ein operator Δ : C^k(Ω) → C^k−2(Ω) for alle opne sett Ω.

Laplaceoperatoren til ein funksjon er òg sporet til hessematrisa til funksjonen:

$\Delta f=\mathrm{t}\mathrm{r}(H(f)).$

Motivasjon

Diffusjon

Innan diffusjon oppstår laplaceoperatoren (via laplacelikninga) naturleg i den matematiske skildringar av likevekt. Meir spesifikt, om u er tettleiken ved likevekt av ein storleik som ein kjemisk konsentrasjon, så er nettofluksen til u gjennom grensa til ein glatt region V lik null, om det ikkje finst kjelder eller sluk i V:

${\int }_{\partial V}\mathrm{\nabla }u\cdot 𝐧dS=0,$

der n er utoverretta einingsnormal til grensa til V. Med divergensteoremet,

${\int }_V\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{\nabla }udV={\int }_{\partial V}\mathrm{\nabla }u\cdot 𝐧dS=0.$

Sidan dette gjeld for alle glatte regionar V, kan det visast at dette impliserer

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{\nabla }u=\Delta u=0.$

Venstrehandssida av likninga i laplaceoperatoren. Sjølve laplaceoperatoren har ei fysisk tolking for ikkje-likevektsdiffusjon som graden eit punkt representerer ei kjelde eller eit sluk av ein kjemisk konsentrasjon, gjort presist av diffusjonslikninga.

Tettleik tilknytt eit potensial

Om φ er elektrostatisk potensial tilknytt til ei ladingsfordeling q, så er ladingsfordelinga sjølv gjeven av laplaceoperatoren φ:

$q=\Delta \varphi .$

Dette er ei følgje av gausslova. Så om V er eit glatt område, så får ein av gausslova at fluksen til det elektrostatiske feltet E er lik ladinga i feltet (medhøvande einingar):

${\int }_{\partial V}𝐄\cdot 𝐧={\int }_{\partial V}\mathrm{\nabla }\varphi \cdot 𝐧={\int }_{V}qdV,$

der den første likskapen nyttar faktumet at det elektrostatiske feltet er gradienten til det elektrostatiske potensialet. Divergensteoremet gjev no at

${\int }_V\Delta \varphi dV={\int }_{V}qdV,$

og sidan dette gjeld for alle område V, følgjer (Mal:EquationNote).

Den same tilnærmingsmåten gjev at laplaceoperatoren til eit tyngdepotensial er massefordelinga. Ofte er ladingsfordelinga (eller massefordelinga) gjeven, og det tilknytte potensialet ukjent. Å finne potensialfunksjonen som høver til passande grenseviklåer er det same som å løyse poissonlikninga.

Energiredusering

Ein annan motivasjon for laplaceoperatoren i fysikk er at løysinga til $\Delta f=0$ i eit område U er funksjonar som gjev dirichletenergi funksjonell stasjonært:

$E(f)=\frac{1}{2}{\int }_U\Vert \mathrm{\nabla }f{\Vert }^2\mathrm{d}x.$

For å sjå dette må ein tenkje seg at $f:U\to ℝ$ er ein funksjon, og $u:U\to ℝ$ er ein funksjon som forsvinn på grensa til U. Då har ein

$\frac{d}{d\epsilon }{|}_{\epsilon =0}E(f+\epsilon u)={\int }_U\mathrm{\nabla }f\cdot \mathrm{\nabla }u\mathrm{d}x=-{\int }_{U}u\Delta f\mathrm{d}x$

der den siste likskapen følgjer av den første greenidentiteten. Denne utrekninga syner at om $\Delta f=0$, så er E stasjonær rundt f. Motsett, om E er stasjonær rundt f, så er $\Delta f=0$ av den grunnleggjande hjelpesetninga av variasjonsutrekning.

Koordinatuttrykk

To dimensjonar

Laplaceoperatoren i to dimensjonar er gjeven som

$\Delta f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

der x og y står for dei vanlege kartesiske koordinatane i xy-planet.

I polarkoordinatar,

$\Delta f=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}.$

Tre dimensjonar

I tre dimensjonar er det vanleg å arbeide med laplaceoperatorar i fleire forskjellige koordinatsystem.

I kartesiske koordinatar,

$\Delta f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}.$

I sylindriske koordinatar

$\Delta f=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}.$

I sfæriske koordinatar

$\Delta f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}.$

(her representerer φ asimutvinkelen og θ polarvinkelen).

N dimensjonar

I sfæriske koordinatar i N dimensjonar, med parametriseringa x = rθ ∈ R^N med r som ein positiv reell radius og θ som eit element av einingssfæreen S^N−1,

$\Delta f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial r^2}+\frac{N-1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^2}{\Delta }_{S^{N-1}}f$

der ${\Delta }_{S^{N-1}}$ er Laplace–Beltrami-operatoren på ein (N−1)-sfære, òg kalla ein sfærisk laplaceoperator. Dei to radielle uttrykka kan skrivast om som

$\frac{1}{r^{N-1}}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^{N-1}\frac{\partial f}{\partial r}\right).$

Som følgje av dette er den sfæriske laplaceoperatoren ein funksjon definert som S^N−1 ⊂ R^N og kan reknast ut som den ordinære laplaceoperatoren til ein funksjon utvida til R^N\{0} slik at han er konstant langs stråler, t.d. , homogen i nulte grad.

Generaliseringar

Laplaceoperatoren kan generaliserast på to måtar for ikkje-euklidske rom, der han kan vere elliptisk, hyperbolsk eller ultrahyperbolsk.

I minkowskirom vert laplaceoperatoren d'Alembert-operatoren: $◻=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}.$

D'Alembert-operatoren vert òg kalla bølgjeoperatoren, fordi han er den differensialoperatoren som dukkar opp i den firdimensjonale bølgjelikninga. Han er òg ein vesentleg del av Klein–Gordon-likninga. Forteiknet føre dei romleg deriverte er negative, medan dei ville ha vore positive i eit euklidsk rom. Tilleggsfaktoren c må ein ha om rom og tid er målt i forskjellige einingar.

Laplace–Beltrami-operator

Laplaceoperatoren kan òg generaliserast til ein elliptisk operator kalla Laplace–Beltrami-operatoren definert på ein riemannsk manifold. D'Alembert-operatoren vert generalisert til ein hyperbolsk operator på pseudo-riemannsk manifold. Laplace–Beltrami-operatoren kan òg generaliserast til ein operator som opererer på tensorfelt.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Laplace operator» frå Mal:Wikipedia-utgåve, den 25. november 2009.
  • Mal:Wikipedia-utgåve oppgav desse kjeldene:
• Mal:Citation.
• Mal:Citation.
• Mal:Citation.
• Mal:Citation.
• Mal:Springer.

Bakgrunnsstoff

• Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates av Swapnil Sunil Jain