Legendrepolynom

Legendrepolynom er i matematikk løysingar til differensiallikninga til Legendre:

$\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{d}{dx}{P}_n(x)]+n(n+1)P_n(x)=0.$

Dei er kalla opp etter Adrien-Marie Legendre. Denne ordinære differensiallikninga møter ein som regel i fysikk og andre tekniske felt. Særleg oppstår han når ein løyser Laplace-likninga (og tilknytte partielle differensiallikningar) i sfæriske koordinatar.

Differensiallikninga til Legendre kan løysast ved å bruke standar potensrekke-metode. Likninga har regulære singularpunkt ved x = ±1 så generelt vil løysinga til ei rekkje omkring origo berre konvergere for |x| < 1. Når n er eit heiltal er løysinga P_n(x) som er regulær ved x = 1 òg regulær ved x = −1 og rekkjene fr denne løysinga vert avslutta (er altså eit polynom).

Desse løysingane for n = 0, 1, 2, ... (med normaliseringa P_n(1) = 1) dannar ei polynomrekkje av ortogonale polynom kalla Legendrepolynoma. Kvart Legendrepolynom P_n(x) er eit nte-grads polynom. Det kan uttrykkast ved hjelp av Rodrigues-formelen:

$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}[(x^2-1{)}^n].$

At desse polynoma tilfredsstiller differensiallikninga til Legendre (Mal:EquationNote) følgje av differensieringa (n+1) multiplisert på begge sider av identiteten

$(x^2-1)\frac{d}{dx}(x^2-1{)}^n=2nx(x^2-1{)}^n$

og ved å bruke den generelle Leibniz-regelen for gjentakande differensieringar. P_n kan òg definerast som koeffisientar i ei Taylorrekkje-utviding:

$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_n(x)t^n(1)$.

I fysikk dannar denne funksjonen grunnlaget for multipolutvidingar.

Sjå òg

• Tilknytt Legendrefunksjon
• Gaussisk kvadratur
• Gegenbauerpolynom
• Legendre sine rasjonelle funksjonar
• Turán-ulikskapane
• Legendrebølgjer

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Legendre polynomials» frå Mal:Wikipedia-utgåve, den 9. mars 2010.
  • Mal:Wikipedia-utgåve oppgav desse kjeldene:
  • Mal:Citation.

Bakgrunnsstoff

• Ei rask uformell utleiing av Legendrepolynom i kvantemekanikken til hydrogen
• Wolfram MathWorld om Legendrepolynom
• Modul for Legendrepolynom av John H. Mathews