Matematisk induksjon

Matematisk induksjon er ein metode nytta for matematiske bevis, vanlegvis for å vise at eit visst uttrykk gjeld for alle naturlege tal. Dette er gjort med å vise at det første uttrykket i ei uendeleg rekkje av uttrykk er sann, og så vise at eit vilkårleg uttrykk i den uendelege rekkja er sann, og til slutt det neste uttrykket i rekkja.

Denne metoden kan utvidast til å bevise uttrykk som gjeld meir generelle velfunderte strukturar, slik som for tre i mengdelære. Denne generaliseringa vert kalla strukturell induksjon og vert nytta i matematisk logikk og datavitskap.

Døme

Her skal vi vise at summen for alle naturlege tal kan skildrast som:

$1+2+3+\mathrm{...}+n=\frac{n(n+1)}{2}$, der n er eit naturleg tal.

Første skritt er å vise at uttrykket gjeld for 1.

$\frac{n(n+1)}{2}\Rightarrow \frac{(1)(1+1)}{2}=1$ då n=1. Dermed har vi vist at uttrykket gjeld for n=1.

Neste skritt er å vise at om uttrykket gjeld for n=k, medfører det at uttrykket òg gjeld for $n=k+1$.

• Antar: $1+2+3+\mathrm{...}+k=\frac{k(k+1)}{2}$

Legg til k + 1 på begge sider og får:

$1+2+\cdots +k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)$

Reknar ut høgresida:

$=\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}=\frac{(k+2)(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}.$

Dermed har vi:

$1+2+\cdots +(k+1)=\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$

og beviset er ferdig. Vi har no vist at uttrykket gjeld for n=1, og at om uttrykket gjeld for k, medfører det at uttrykket òg gjeld for k+1. Induksjonsprinsippet seier dermed at uttrykket gjeld for alle naturlege tal $n\ge 1$.