Roterande referansesystem

Eit roterande referansesystem er eit koordinatsystem som roterer relativt til eit tregleikssystem. Eit daglegdags døme på eit roterande referansesystem er overflata på Jorda.

Fiktive krefter

Alle ikkje-tregleikssystem innehar fiktive krefter. Roterande referansesystem er karakterisert av tre fiktive krefter:

• sentrifugalkrafta
• corioliskrafta

og for ikkje-uniforme roterande referansesystem

• eulerkrafta.

Forskarar på eit slikt roterande referansesystem kan måle farten og retninga til rotasjonen sin ved å måle desse fiktive kreftene. T.d kunne Léon Foucault vise corioliskrafta som kjem av jordrotasjonen ved å bruke Foucaultpendelen. Viss Jorda plutseleg byrja å rotere tusen gangar raskare (slik at kvar dag berre var om lag 86 sekund lang), ville folk lette ha merka dei fiktive kreftene som dreg i dei, akkurat som på ein spinnande karusell.

Forhold mellom posisjonar i to referansesystem

For å utleie desse fiktive kreftene er det lurt å kunne transformere likningane mellom koordinatane $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ i det roterande referansesystemet og koordinatane $(x,y,z)$ i eit tregleikssystem med same opphav. Viss rotasjonen er om $z$-aksen med vinkelfarten $\omega$ og dei to referansesystema samsvarar ved tida $t=0$, så kan transformasjonen frå dei roterande koordinatane til tregleikskoordinatane skrivast:

$x=x^{\prime }\cos \omega t+y^{\prime }\sin \omega t$

$y=y^{\prime }\cos \omega t-x^{\prime }\sin \omega t$

og den reverse transformasjonen er

$x^{\prime }=x\cos (-\omega t)-y\sin (-\omega t)$

$y^{\prime }=y\cos (-\omega t)+x\sin (-\omega t)$

Dette resultatet får ein ved å bruke ei roasjonsmatrise.

Generell utleiing i eit roterande referansesystem

Visst vi har einingsvektorane $i,j,k$ til å representere dei tredimensjonale vektorane, kan vi la desse rotere fordi dei vil bli verande normalisert. Viss vi lèt dei rotere med farten $\omega$ så vert kvar einingsvektor styrt av likninga:

$\frac{dl}{dt}=\omega \times l$,

der $l=\{i,j,k\}$. Så viss vi då har ein funksjon , $f(t)=f_x(t)i+f_y(t)j+f_z(t)k$ og vi vil utforske den førstederiverte, har vi:

$\frac{df}{dt}=\frac{d{f}_x}{dt}i+\frac{di}{dt}{f}_x+\frac{d{f}_y}{dt}j+\frac{dj}{dt}{f}_y+\frac{d{f}_z}{dt}k+\frac{dk}{dt}{f}_z$

$\frac{df}{dt}=\frac{d{f}_x}{dt}i+\frac{d{f}_y}{dt}j+\frac{d{f}_z}{dt}k+[\omega \times (f_{x}i+f_{y}j+f_{z}k)]$

$\frac{\delta f}{\delta t}+\omega \times f(t)$

Der $\frac{\delta }{\delta t}$ er endringsraten med omsyn på det roterande koordinatsystemet. Det vil sei at viss $f(t)$ roterer med same fart som einingsvektorane ($\omega$) så er $\frac{\delta f}{\delta t}=0$.

Forhold mellom snøggleik i dei to referansesystema

Snøggleiken til ein lekam er den tidsderiverte av posisjonen til lekamen eller

$𝐯\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{d𝐫}{dt}$

Den tidsderiverte til posisjonen i eit roterande referansesystem har to komponentar, ein frå den tidsderiverte i tregleikssystemet, og ein anna frå sin eigen rotasjon. Forholdet mellom desse har ein i likninga

${\left(\frac{d}{dt}\right)}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{k}}={\left(\frac{d}{dt}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}}+𝝎\times$

der vektoren $𝝎$ peikar i same retning som rotasjonsaksen med same storleik som vinkelfarten. Derfor er forholdet mellom snøggleiken i dei to referansesystema:

${𝐯}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{k}}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\left(\frac{d𝐫}{dt}\right)}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{k}}={\left(\frac{d𝐫}{dt}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}}+𝝎\times 𝐫={𝐯}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}}+𝝎\times 𝐫$

Prov av likninga

La oss tenkje oss ein vektor a_tregleik i tregleikssystemet, og a_roterande er den same vektoren i det roterande referansesystemet. P_t er posisjonen til vektoren a ved tida t i tregleikssystemet, Q ere it punkt som har same startposisjon som P₀ (Q₀ = P₀) og roterer i forhold til tregleikssystemet som om det var stasjonært på det roterande systemet. .

Etter ei svært kort tid δ t, har vi at vektoren Q₀ Q_{δ t} er

$𝝎\times {𝐚}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{k}}\cdot \delta t$

ved å bruke nokre enkle vektoroperasjonar har vi

$\overline{P_0{P}_{\delta t}}={𝐚}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{k}}=\overline{P_0{Q}_{\delta t}}+\overline{Q_{\delta t}{P}_{\delta t}}=\overline{Q_0{Q}_{\delta t}}+\overline{Q_{\delta t}{P}_{\delta t}}=𝝎\times {𝐚}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{k}}\cdot \delta t+{𝐚}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{n}}$

deriverar vi på tid får vi

${\dot{𝐚}}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{k}}=𝝎\times {𝐚}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{k}}+{\dot{𝐚}}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{n}}$

og ser at

$𝝎\times {𝐚}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{n}}=𝝎\times {𝐚}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{k}}$

Forhold mellom akselerasjon i dei to systema

Akselerasjon er den andre tidsderiverte av posisjon, eller den første tidsderiverte av snøggleik

${𝐚}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{k}}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\left(\frac{d^2𝐫}{d{t}^2}\right)}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{k}}={\left(\frac{d𝐯}{dt}\right)}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{k}}=[{\left(\frac{d}{dt}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{n}}+𝝎\times ][{\left(\frac{d𝐫}{dt}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{n}}+𝝎\times 𝐫]$

Ved å utføre deriveringa og omarrangere nokre av ledda får ein akselerasjonen i det roterande referansesystemet

${𝐚}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{n}}={𝐚}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{k}}-2𝝎\times {𝐯}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{n}}-𝝎\times (𝝎\times 𝐫)-\frac{d𝝎}{dt}\times 𝐫$

der ${𝐚}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{n}}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\left(\frac{d^2𝐫}{d{t}^2}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{n}}$ er den tilsynelatande akselerasjonen i det roterande referansesystemet.

Dei tre ledda på høgre side kjem av dei fiktive kreftene i eit roterande referansesystem. Ved å bruke Newton si andre rørslelov $F=ma$, får vi

• corioliskrafta

${𝐅}_{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{s}}=-2m𝝎\times {𝐯}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{n}}$

• sentrifugalkrafta

${𝐅}_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{l}}=-m𝝎\times (𝝎\times 𝐫)$

• eulerkrafta

${𝐅}_{\mathrm{E}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}}=-m\frac{d𝝎}{dt}\times 𝐫$

der $m$ er massen til lekamen desse tre fiktive kreftene virkar på.

Tregleiksakslerasjonen ${𝐚}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{k}}$ kan ein finne ut frå den totale fysiske krafta ${𝐅}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}$ (t.d. den totale krafta frå fysiske vekselverknadar som elektromagnetisme) og bruke Newton si andre rørslelov

${𝐅}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=m{𝐚}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}}$