Symmetrisk matrise

Ei symmetrisk matrise er ei matrise som er lik transponeringa si. Formelt er ei matrise M symmetrisk viss og berre viss $M=M^T$. Berre kvadratiske matriser, altså matriser med like mange kolonnar som radar, kan vera symmetriske.

Døme

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 5\\ 3& 5& 6\end{array}\right)$

Matrisa M er symmetrisk ettersom $M=M^T$.

Matrisa A nedanføre vil der i mot ikkje vera symmetrisk:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 3& 4& 5\\ 3& 1& 6\end{array}\right),A^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ 2& 4& 1\\ 2& 5& 6\end{array}\right),A\ne A^T.$

Eigenskapar

Ei reell symmetrisk matrise har nokre spesielle eigenskapar utover ei vanleg matrise. Følgjande eigenskapar følgjer frå spektralteoremet for symmetriske matriser

• Eigenvektorar tilhøyrande ulike eigenverdiar er ortogonale
• Det vil vera n reelle eigenverdiar gjeve at matrisa er av dimensjon n x n.
• Dimensjonen av eigerommet for ein eigenverdi $\lambda$ er det samme som multiplisiteten av rota $\lambda$ i det karakteristiske polynomet
• Ei symmetrisk matrise vil alltid vera diagonaliserbar