Tilknytt legendre-funksjon

Ein tilknytt legendre-funksjon er i matematikk ei kanonisk løysing av den generelle legendre-likninga

$(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+(\ell [\ell +1]-\frac{m^2}{1-x^2})y=0,$

eller

$([1-x^2]y^{\prime }{)}^{\prime }+(\ell [\ell +1]-\frac{m^2}{1-x^2})y=0,$

der indeksane $\ell$ og m (som generelt er komplekse storleikar) vert kalla graden og ordenen til den tilknytte legendre-funksjonen. Denne likninga har løysingar som er ikkje-singulære på [−1, 1] berre visst $\ell$ og m er heiltal med 0 ≤ m ≤ $\ell$, eller med trivielle ekvivalente negative verdiar. Når m i tillegg er eit liketal, er funksjonen eit polynom. Når m er null og $\ell$ eit heiltal er desse funksjonane identiske til legendre-polynom.

Denne ordinære differensiallikninga er ofte nytta i fysikk og andre tekniske felt. Særleg dukkar han opp i løysinga av laplace-likninga (og tilknytte partielle differensiallikningar) i sfæriske koordinatar.

Dei første tilknytte legendre-polynoma

Dei første tilknytte legendre-polynoma, inkludert dei for negative verdiar av m, er:

$P_0^0(x)=1$

$P_1^{-1}(x)=-\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}{P}_1^1(x)$

$P_1^0(x)=x$

$P_1^1(x)=-(1-x^2{)}^{1/2}$

$P_2^{-2}(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{24}\end{array}{P}_2^2(x)$

$P_2^{-1}(x)=-\begin{array}{c}\frac{1}{6}\end{array}{P}_2^1(x)$

$P_2^0(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(3x^2-1)$

$P_2^1(x)=-3x(1-x^2{)}^{1/2}$

$P_2^2(x)=3(1-x^2)$

$P_3^{-3}(x)=-\begin{array}{c}\frac{1}{720}\end{array}{P}_3^3(x)$

$P_3^{-2}(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{120}\end{array}{P}_3^2(x)$

$P_3^{-1}(x)=-\begin{array}{c}\frac{1}{12}\end{array}{P}_3^1(x)$

$P_3^0(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(5x^3-3x)$

$P_3^1(x)=-\begin{array}{c}\frac{3}{2}\end{array}(5x^2-1)(1-x^2{)}^{1/2}$

$P_3^2(x)=15x(1-x^2)$

$P_3^3(x)=-15(1-x^2{)}^{3/2}$

$P_4^{-4}(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{40320}\end{array}{P}_4^4(x)$

$P_4^{-3}(x)=-\begin{array}{c}\frac{1}{5040}\end{array}{P}_4^3(x)$

$P_4^{-2}(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{360}\end{array}{P}_4^2(x)$

$P_4^{-1}(x)=-\begin{array}{c}\frac{1}{20}\end{array}{P}_4^1(x)$

$P_4^0(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{8}\end{array}(35x^4-30x^2+3)$

$P_4^1(x)=-\begin{array}{c}\frac{5}{2}\end{array}(7x^3-3x)(1-x^2{)}^{1/2}$

$P_4^2(x)=\begin{array}{c}\frac{15}{2}\end{array}(7x^2-1)(1-x^2)$

$P_4^3(x)=-105x(1-x^2{)}^{3/2}$

$P_4^4(x)=105(1-x^2{)}^2$

Gjentakingsformel

Desse funksjonane har fleire gjentakande eigenskapar:

$(\ell -m+1)P_{\ell +1}^m(x)=(2\ell +1)x{P}_{\ell }^m(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^m(x)$

$2mx{P}_{\ell }^m(x)=-\sqrt{1-x^2}[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)]$

$P_{\ell +1}^m(x)=P_{\ell -1}^m(x)-(2\ell +1)\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^{m-1}(x)$

$\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)x{P}_{\ell }^m(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^m(x)$

$(x^2-1)P_{{\ell }^{\prime }}^m(x)=\ell x{P}_{\ell }^m(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^m(x)$

$(x^2-1)P_{{\ell }^{\prime }}^m(x)=\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^{m+1}(x)+mx{P}_{\ell }^m(x)$

$(x^2-1)P_{{\ell }^{\prime }}^m(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1)\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^{m-1}(x)-mx{P}_{\ell }^m(x)$

Nyttige identitetar (initialverdiar for den første repetisjonen):

$P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1{)}^l(2\ell -1)!!(1-x^2{)}^{(l/2)}$

$P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)$

med !! som dobbelfaktor.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Associated Legendre function» frå Mal:Wikipedia-utgåve, den 1. desember 2009.
  • Mal:Wikipedia-utgåve oppgav desse kjeldene:
  • Arfken G.B., Weber H.J., Mathematical methods for physicists, (2001) Academic Press, ISBN 0-12-059825-6 See Section 12.5. (Uses a different sign convention.)
  • A.R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, (1957) Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9 See chapter 2.
  • E. U. Condon and G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, (1970) Cambridge, England: The University Press. See chapter 3
  • F. B. Hildebrand, Advanced Calculus for Applications, (1976) Prentice Hall, ISBN 0-13-011189-9
  • Belousov, S. L. (1962), Tables of normalized associated Legendre polynomials, Mathematical tables series Vol. 18, Pergamon Press, 379p.

Bakgrunnsstoff

• Legendre-polynom på MathWorld