Tregleiksmoment

Ein balansekunstnar utnyttar tregleiksmomentet til den lange stanga til å lettare halde balansen Dette er Samuel Dixon som kryssar Niagara i 1890.

Tregleiksmoment om aksen til ein punktforma lekam er massen gonger kvadratet av avstanden frå aksen til lekamen. For ein ustrekt lekam finn ein tregleiksmomentet ved å summere tregleiksmomenta om aksen for alle dei einskilde massepunkta.

I SI-systemet har tregleiksmomentet eininga kg m² og det er eit mål på rotasjonstregleiken til ein stivt lekam. Symbolet $I$ vert vanlegvis nytta.

Oversikt

Tregleiksmomentet til ein lekam om ein gjeven akse skildrar kor vanskeleg det er å sette lekamen i rotasjon om aksen, der aksen går gjennom det massefellespunktet til lekamen. Som eit døme, tenk på to hjul med same masse, eit med stor og eit med liten radius. Det mindre hjulet er lettare å akselerere inn i ei rotasjonsrørsle, fordi massen er konsentrert nærare rotasjonsaksen. Tilsvarande er det vanskelegare å få det større hjulet til å akselerere, siden massen er spreidd lenger frå rotasjonsaksen. Det vesle hjulet har eit mindre tregleiksmoment, medan det større hjulet har eit større tregleiksmoment.

Tregleiksmoment må ikkje forvekslast med flatetregleiksmoment eller polart arealmoment, som ofte har same symbol $I$.

Det finst to former av tregleiksmoment, ei skalar form, og ei meir generell form, der det ikkje er naudsynt å vite rotasjonsaksen. Det skalare tregleiksmomentet er ofte det ein refererer til og forstår med «tregleiksmoment», og den generelle forma blir derfor ikkje omtalt i denne artikkelen.

Skalart tregleiksmoment

Definisjon

Det (skalare) tregleiksmomentet for eit massepunkt som roterer om ein kjend akse er:

$I\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}m{r}^2$

der

m er massen,

og r er avstand frå massepunktet til rotasjonsaksen.

tregleiksmomentet kan summerast, så for ein lekam definert som fleire massepunkt med masse $m_i$ og avstand frå rotasjonsaksen $r_i$, er det totale tregleiksmomentet summen av tregleiksmomentene for kvart enkelt massepunkt.

$I\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{i=1}^N{m}_i{r}_i^2$

For ein kontinuerlig massefordeling er tregleiksmomentet definert ved uttrykket

$I\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\int r^{2}dm$

Parallellakseteoremet

Visst tregleiksmomentet for rotasjon om ein akse gjennom massefellespunktet for ein symmetrisk lekam har blitt kalkulert, kan ein finne tregleiksmomentet for rotasjon om alle parallelle aksar. For ein rotasjonsakse med ein avstand $R$ frå massefellespunktet, blir det nye tregleiksmomentet:

$I_{\mathrm{n}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{s}\mathrm{e}}=I_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{t}}+M{R}^2$

der

$M$ er den totale massen til lekamen,

og R er avstanden frå den nye rotasjonsaksen til massefellespunktet.

Dette teoremet er òg kjent som Steiners sats.

Eit døme på bruk av denne formelen vil vere om ein i staden for å rotere eit hjul rundt akselen, spinner det rundt ein ny aksel heilt i ytterkanten av hjulet. Det nye tregleiksmomentet vil bli det opphavlege tregleiksmomentet pluss massen til hjulet ganga med hjulradiusen i andre.

Eit utval kjente tregleiksmoment

Dette er kjende tregleiksmoment for ein del vanlige geometriske former med rotasjonsakse gjennom massefellespunktet. Desse kan nyttast for $I_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{t}}$ i parallellakseteoremet. Alle former har masse M.

Homogen slank stav med lengd $L$ langs y-aksen:

$I_{\mathrm{z}}=I_{\mathrm{x}}=\frac{1}{12}M{L}^2$

Tynn rektangulær plate i xy-planet med sidekant $a$ langs x-aksen og sidekant $b$ langs y-aksen.

$I_{\mathrm{z}}=\frac{1}{12}M(a^2+b^2)$

$I_{\mathrm{x}}=\frac{1}{12}M{b}^2$

$I_{\mathrm{y}}=\frac{1}{12}M{a}^2$

Rektangulært prisme med sidekant b langs y-aksen og sidekant a langs x-aksen, med vilkårleg høgd langs z-aksen.

$I_{\mathrm{z}}=\frac{1}{12}M(a^2+b^2)$

Tynn sirkulær skive med radius r i xy-planet.

$I_{\mathrm{z}}=\frac{1}{2}M{r}^2$

$I_{\mathrm{x}}=I_{\mathrm{y}}=\frac{1}{4}M{r}^2$

Sirkulær sylinder langs z-aksen med radius r og lengd L.

$I_{\mathrm{z}}=\frac{1}{2}M{r}^2$

$I_{\mathrm{x}}=I_{\mathrm{y}}=\frac{1}{12}M(3r^2+L^2)$

Tynt sylinderskal langs z-aksen med radius r og lengd L:

$I_{\mathrm{z}}=M{r}^2$

$I_{\mathrm{x}}=I_{\mathrm{y}}=\frac{1}{2}M{r}^2+\frac{1}{12}M{L}^2$

Kule med radius r har same tregleiksmoment om alle aksar gjennom massefellespunktet:

$I_{}=\frac{2}{5}M{r}^2$

Kuleskal med radius r har òg same tregleiksmoment om alle aksar gjennom massefellespunktet:

$I_{}=\frac{2}{3}M{r}^2$

Kinetisk energi

For ein lekam som roterer med konstant vinkelhastigheit $\omega$ om ein akse, er den kinetiske rotasjonsenergien $T$ gjeve ved:

$T=\sum _{i=1}^N\frac{1}{2}{m}_i{\omega }^2{r}_i^2=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

Formelen held òg for rulling av hjul.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Tregleiksmoment» frå Mal:Wikipedia-utgåve, den 19. mai 2013.

• moment – treghetsmoment. (27.02.2013) I Store norske leksikon. Henta frå: http://snl.no/moment/treghetsmoment