Eulerlikningane

Eulerlikningane styrer rørsla til ei kompressibel og ikkje-viskøs væske i væskedynamikken. Likningane er ei enklare form av Navier-Stokeslikningane med null viskositet og varmekonduksjon, men vert vanlegvis skrive slik som her, fordi dei direkte representerer bevaring av masse, rørslemengd og energi. Likningane har fått namn etter Leonhard Euler. I denne artikkelen tenkjer vi oss at den klassiske mekanikken gjeld, sjå relativistiske Eulerlikningar for ein diskusjon av kompressible væsker når farten nærmar seg lysfarten.

På differensial form er likningane:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho 𝐮)=0$

$\frac{\partial \rho 𝐮}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho 𝐮)𝐮+\mathrm{\nabla }p=0$

$\frac{\partial E}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (𝐮(E+p))=0$

der $E=\rho e+\rho (u^2+v^2+w^2)/2$ er den totale energien per volum ($e$ er den indre energien per masse for væska), $p$ er trykket, $u$ er farten til væska og $\rho$ tettleiken. Den andre likninga inkluderer divergens av ein binær tensor, og er kanskje klårare i indeksnotasjon:

$\frac{\partial \rho u_j}{\partial t}+\frac{\partial \rho u_i{u}_j}{\partial x_i}+\frac{\partial p}{\partial x_j}=0$

Merk at likningane over er uttrykt på bevaringsform, sidan denne forma legg vekt på det fysiske opphavet deira (og er den enklaste forma for datasimuleringar av væskedynamikk). Rørslemengdkomponenten i Eulerlikningane vert vanlegvis uttrykt som:

$\rho (\frac{\partial }{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐮+\mathrm{\nabla }p=0$

men denne forma skjuler den direkte samanhengen mellom Eulerlikningane og Newton si andre rørslelikning (særleg er det ikkje intuitivt kvifor denne likninga er korrekt og $(\partial /\partial t+𝐮\cdot \mathrm{\nabla })(\rho 𝐮)+\mathrm{\nabla }p=0$ ikkje er korrekt).

I bevaringsvektorform vert Eulerlikningane

$\frac{\partial U}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial G}{\partial y}+\frac{\partial H}{\partial z}=0$

der

$U=\left(\begin{array}{c}\rho \\ \rho u\\ \rho v\\ \rho w\\ E\end{array}\right)F=\left(\begin{array}{c}\rho u\\ p+\rho u^2\\ \rho uv\\ \rho uw\\ u(E+p)\end{array}\right)G=\left(\begin{array}{c}\rho v\\ \rho uv\\ p+\rho v^2\\ \rho vw\\ v(E+p)\end{array}\right)H=\left(\begin{array}{c}\rho w\\ \rho uw\\ \rho vw\\ p+\rho w^2\\ w(E+p)\end{array}\right).$

Denne forma syner at $F,G,H$ er fluksar.

Likninga over representerer altså bevaring av masse, tre komponentar av rørslemengd, og energi. Det er derimot fem likningar og seks ukjende. For å få ei lukka problemstilling må ein bruke tilstandslikninga, og den mest vanlege forma av denne er den ideelle gasslova (t.d. $p=\rho (\gamma -1)e$, der ρ er tettleiken, γ er ein adiabatisk indeks, og e den indre energien).

Det ekstra leddet som har med p kan tolkast som det mekaniske arbeidet som eit væskeelement gjer på væskeelementa rundt. Desse ledda vert summert opp til null i ei inkompressibel væske.

Den meir kjende Bernoullilikninga kan utleiast ved å integrere Eulerlikningane langs ei straumlinje, viss ein set tettleiken til å vere konstant.