Hausdorffrom

Eit topologisk rom $X$ er eit hausdorffrom (ein seier også at $X$ er hausdorff eller at $X$ er separert) viss kvart par av distinkte punkt i $X$ kan bli separert.

Definisjon

La $X$ vera eit topologisk rom. Hugs at ein omegn av eit punk $x\in X$ er ei open mengd $U\subseteq X$ slik at $x\in U$. Me seier at $X$ er hausdorff viss for kvart par av punkt $x,y\in X$ finst to disjunkte omegnar $U$ og $V$ rundt høvesvis $x$ og $y$, altså at $U\cap V=\mathrm{\varnothing }$. To punkt $x$ og $y$ er separerbare viss det finst slike omegnar $U$ og $V$.

Eksempel

La $X=\{a,b,c\}$.

• $𝒯=\{\mathrm{\varnothing },X,\{a,b\},\{c\}\}$ er ein topologi på $X$, men $𝒯$ er ikkje hausdorff då $a$ og $b$ ikkje er separerbare

• $𝒯=2^X$ er openbert hausdorff: kvart punkt $x\in X$ har den opne omegnen $\{x\}$. Faktisk, for ei kvar mengd $Y$ definerer den diskrete topologien $𝒮=2^Y$ ein hausdorff topologi på $Y$.

• Viss $Y$ er ei mengd med meir enn eitt punkt, så er den udiskrete topologien $𝒯=\{\mathrm{\varnothing },Y\}$ ikkje hausdorff

• $ℝ$ med den vanlege topologien er hausdorff

Kjelder

• Mal:Cite book