Kepler-problemet

Kepler-problemet er problemet med å avgjere vinkelen mellom to radiar som avgrensar ein elliptisk sektor med kjent areal. Dette spelar ei særs viktig rolle i teorien for planetrørslene.

Matematisk definisjon

Den sentrale krafta F som varierer i styrke med omvendte kvadratet av avstanden r mellom dei:

$𝐅=\frac{k}{r^2}\widehat{𝐫}$

der k er ein konstant og $\widehat{𝐫}$ syner til einingsvektoren langs linja mellom dei. Krafta kan vere anten tiltrekkjande (k<0) eller fråstøytande (k>0). Den samsvarande skalare potensialet (den potensielle energien til ein ikkje-sentral lekam) er:

$V(r)=\frac{k}{r}$

Løysinga på Kepler-problemet

Rørslelikninga for radien $r$ til ein partikkel med masse $m$ som flyttar seg i eit sentralt potensial $V(r)$ er gjeven av Lagrange-likningane

$m\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-mr{\omega }^2=m\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-\frac{L^2}{m{r}^3}=-\frac{dV}{dr}$

$\omega \equiv \frac{d\theta }{dt}$ og vinkelmomentet $L=m{r}^2\omega$ er bevart. For å illustrere dette er det første leddet på venstesida null for sirkelforma omlaup, og den nytta innoverretta krafta $\frac{dV}{dr}$ er lik sentripetalkrafta $mr{\omega }^2$, som venta.

Om L er ulik null så let definisjonen av vinkelmoment ei endring av den sjølvstendige variabelen frå $t$ til $\theta$

$\frac{d}{dt}=\frac{L}{m{r}^2}\frac{d}{d\theta }$

gjeven den nye rørslelikninga som er tidsuavhengig

$\frac{L}{r^2}\frac{d}{d\theta }\left(\frac{L}{m{r}^2}\frac{dr}{d\theta }\right)-\frac{L^2}{m{r}^3}=-\frac{dV}{dr}$

Utvidinga av første leddet er

$\frac{L}{r^2}\frac{d}{d\theta }\left(\frac{L}{m{r}^2}\frac{dr}{d\theta }\right)=-\frac{2L^2}{m{r}^5}{\left(\frac{dr}{d\theta }\right)}^2+\frac{L^2}{m{r}^4}\frac{d^{2}r}{d{\theta }^2}$

Denne likninga vert kvasilineær når ein byter variablane $u\equiv \frac{1}{r}$ og multipliserer begge sider med $\frac{m{r}^2}{L^2}$

$\frac{du}{d\theta }=\frac{-1}{r^2}\frac{dr}{d\theta }$

$\frac{d^{2}u}{d^2{\theta }^2}=\frac{2}{r^3}{\left(\frac{dr}{d\theta }\right)}^2-\frac{1}{r^2}\frac{d^{2}r}{d{\theta }^2}$

Etter å byte inn og omarrangere:

$\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}+u=-\frac{m}{L^2}\frac{d}{du}V(1/u)$

For ei omvendt kvadratlov som gravitasjons- eller elektrostatisk potensial, kan potensialet skrivast

$V(𝐫)=\frac{k}{r}=ku$

Banen $u(\theta )$ kan ein få frå den generelle likninga

$\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}+u=-\frac{m}{L^2}\frac{d}{du}V(1/u)=-\frac{km}{L^2}$

der løysinga er konstanten $-\frac{km}{L^2}$ pluss ei enkel sinuskurve

$u\equiv \frac{1}{r}=-\frac{km}{L^2}[1+e\cos (\theta -{\theta }_0)]$

der $e$ (eksentrisiteten) og ${\theta }_0$ (faseforskyvinga) er konstantar i integrasjonen.

Dette er den generelle formelen for eit kjeglesnitt som har eit focus i origio; $e=0$ svarar til ein sirkel, $e<1$ svarar til ein ellipse, $e=1$ svarar til ein parabel, og $e>1$ svarar til ein hyperbel. Eksentrisiteten $e$ er knytt til den totale energien $E$ (jf. Laplace–Runge–Lenz-vektor)

$e=\sqrt{1+\frac{2E{L}^2}{k^{2}m}}$

Samanliknar ein desse likningane syner ein at $E<0$ svarar til ein ellipse (alle løysingar som er tette banar er ellipsar), $E=0$ varar til ein parabel, og $E>0$ svarar til ein hyperbel. $E=-\frac{k^{2}m}{2L^2}$ for perfekte sirkelforma banar (den sentrale krafta er nøyaktig lik sentripetalkrafta, som avgjer den påkravde vinkelfarten for ein gjeven sirkelradius.

For ei fråstøytande kraft (k > 0) gjeld berre e > 1.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Kepler problem» frå Mal:Wikipedia-utgåve, den 20. juni 2016.
  • Mal:Wikipedia-utgåve oppgav desse kjeldene: