Komplekse tal

Dei komplekse tala er den algebraiske lukkinga av dei reelle tala og kan uttykkast som mengda av alle $z=x+iy$, kor $x$ og $y$ er reelle tal og $i$ er definert slik at $i^2=-1$. $ℂ$ er ein kropp under naturleg addisjon og multiplikasjon.

La $z=x+iy$ kor $x,y\in ℝ$. $\mathrm{Re}z=x$ er den reelle delen av $z$ og $\mathrm{Im}z=y$ er den imaginære delen av $z$.

Definisjon og konstruksjon

Dei komplekse tala kan definerast og konstruerast på fleire måtar. Me definerer fyrst eksplisitt $ℂ=\{x+iy|x,y\in ℝ\}$, kor $i^2=-1$. Det er ikkje vanskeleg å sjå at dette utgjer ein kropp, kor den additive inversen til $x+iy$ er gitt ved $x-iy$ og den multiplikative inversen til $x+iy$ (gitt at ikkje både $x,y=0$) er gitt ved

$(x+iy{)}^{-1}=1/(x+iy)=(x-iy)/(x^2+y^2)$

At addisjon og multiplikasjon er assosiative operasjoner og distribuerar over kvarandre følgjer frå at addisjon og multiplikasjon av dei reelle tala har desse eigenskapene. Me har dermed vist at $ℂ$ utgjer ein kropp ut frå denne definisjonen.

Det er også mogleg å konstruera dei komplekse tala frå polynomringen $ℝ[x]$ til $ℝ$. Merk fyrst at polynomet $x^2+1$ er irredusibelt over dei reelle tala. Dermed utgjer kvotientringen$ℂ=ℝ[x]/(x^2+1)$ ein kropp, kor $I=(x^2+1)$ er idealet generert av $x^2+1$. Multiplikasjon og addisjon i $ℂ$ er arva frå multiplikasjon og addisjon i $ℝ[x]$. $ℂ$ består av element på formen $a+bx+I$ kor $x^2=-1$ og $a,b\in ℝ$.

Sjå også

• Algebraens fundamentalteorem
• Kroppsutviding
• Røter av komplekse tal