Liealgebra

Ein liealgebra er i matematikken ein algebra, altså eit vektorrom med eit bilineært produkt, der det bilineære produktet—kalt ei lieklamme—oppfyller visse krav. Liealgebraar er oppkalt etter den norske matematikaren Sophus Lie.

La $𝔤$ vera ein algebra over ein kropp $k$ og skriv det bilineære produktet på klammeform: $[-,-]:𝔤\times 𝔤\to 𝔤$. Det bilineære produktet er ei lieklamme viss det oppfyller følgande

• antikommutativitet: $[x,x]=0$ for alle $x\in 𝔤$
• jacobiidentiteten: $[x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0$

Eksempel

• Eit kvart vektorrom $𝔤$ der $[x,y]=0$ for alle $x,y\in 𝔤$ er openbert liealgebraar. Slike liealgebraar er kalt abelske liealgebraar
• Ein kvar assosiativ algebra kan bli gjort til ein liealgebra ved å definera $[x,y]=xy-yx$
• Som eit spesielt tilfelle kan ein ta algebraen av alle $n\times n$ matriser over ein kropp og definera lieklamma som ovanfor