Lova om store tal

I statistikk seier lova om store tal at gjennomsnittet av tilfeldige utval frå ein populasjon truleg ligg i nærleiken av gjennomsnittet av heile populasjonen.

I sannsynsteori seier lova om store tal at gjennomsnittet av ei følgje av stokastiske variablar med same sannsynsfordeling konvergerer mot den felles forventningsverdien deira, når mengder variablar går mot uendeleg.

Til dømes kan ein på ein vanleg spelterning få eit av tala 1, 2, 3, 4, 5, 6, som for eit kast alle er like sannsynlege. Derfor er den venta verdien av eit enkelt terningkast

$\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\mathrm{3.5.}$

I følgje lova om store tal om ein kasta mange terningar, så vil gjennomsnittet deira truleg vere nær 3,5, og ein vil kome stadig meir nøyaktig nær dette talet etter kvart som ein kastar fleire og fleire terningar.

Den svake lova

Den svake lova om store tal seier at viss X₁, X₂, X₃, ... er ei uendeleg følgje av uavhengige stokastiske variablar med same forventningsverdi μ, så vil gjennomsnittet av dei n første variablane

$\underset{n}{\bar{X}}=(X_1+\cdots +X_n)/n$

konvergere mot μ når n går mot uendeleg. Meir presist, for eit kvart positivt tal ε er

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{P}(|\underset{n}{\bar{X}}-\mu |<ϵ)=1.$

For å bevise dette, nyttar ein Tsjebysjevs ulikskap. La

$\mathrm{var}(\underset{n}{\bar{X}})=\frac{{\sigma }^2}{n}.$

Ved Tsjebysjevs ulikskap, får vi

$\mathrm{P}(|\underset{n}{\bar{X}}-E\underset{n}{\bar{X}}|\ge ϵ)\le \frac{\mathrm{var}(\underset{n}{\bar{X}})}{{ϵ}^2}.$

Det følgjer at

$\mathrm{P}(|\underset{n}{\bar{X}}-E\underset{n}{\bar{X}}|\le ϵ)=1-\mathrm{P}(|\underset{n}{\bar{X}}-E\underset{n}{\bar{X}}|>ϵ)\ge 1-\mathrm{P}(|\underset{n}{\bar{X}}-E\underset{n}{\bar{X}}|\ge ϵ)\ge 1-\frac{{\sigma }^2}{{ϵ}^{2}n}.$

Når n går mot uendeleg, går dette uttrykket mot 1.

Den sterke lova

Den sterke lova om store tal seier at viss X₁, X₂, X₃, ... er ei uendeleg følgje uavhengige stokastiske variablar med same sannsynsfordeling med forventningsverdi μ < ∞ og endeleg varians, så er

$\mathrm{P}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n}{\bar{X}}=\mu )=1.$

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Store talls lov» frå Mal:Wikipedia-utgåve, den 15. september 2011.