Potensmengd

Potensmengden til ei gitt mengd $X$ består i matematikken av alle delmengder av $X$. Me skriv often potensmengden til ei mengd $X$ som anten $2^X$ eller $𝒫(X)$.

Fleire matematiske strukturar på ei mengd $X$ er definert som delmengder av $2^X$ som oppfyller visse krav. Sjå til døme topologiske rom og $\sigma$-algebra

Definisjon

La $X$ vera ei mengd. Formelt kan me definere potensmengden $2^X$ til $X$ som følgjer:

$2^X=\{A|A\subseteq X\}$

Me ser med det same at både $X$ sjølv og den tomme mengda $\mathrm{\varnothing }$ er i $2^X$.

Eksempel

La $X=\{a,b\}$. Potensmengda til $2^X$ består av alle fire delmengda til $X$. Desse er

$\mathrm{\varnothing },X,\{a\},\{b\}$

Generelt, viss $X$ er ei mengd med $n$ element, så har $2^X$ $2^n$ element.

Eit interessant tilfelle er $2^{\mathrm{\varnothing }}$. Denne mengda består av $\{\mathrm{\varnothing }\}$.

Resultat

Georg Cantor har prova at potensmengda til ei kvar mengd $X$ er større enn (har større kardinalitet enn) $X$ sjølv.