Ring i matematikk

Ring er i matematikk ein algebraisk struktur med to binæroperasjonar, addisjon og multiplikasjon, som har mange av dei same eigenskapane som finst hjå heiltala. Mengda av heile tall, $\mathbb{Z}$, saman med den vanlege definisjonen av addisjon og multiplikasjon, er eit døme på ein ring. Mengda av alle matriser er eit døme på ein ikkje-kommutativ ring.

Definisjon

Ein ring $R$ er ein $(R,+,\cdot )$, der $R$ er ei mengd og $+:R\times R\to R$ og $\cdot :R\times R\to R$ binæroperasjonar slik at følgande aksiom held. For alle $a,b,c\in R$ har me:

• (assosiativitet) $(a+b)+c=a+(b+c)$
• (kommutativitet) $a+b=b+a$
• (additiv identitet) Det finst eit element $0\in R$ slik at $0+a=a+0=a$
• (multiplikativ identitet) Det finst eit element $1\in R$ slik at $1\cdot a=a\cdot 1=a$
• (additiv invers) Det finst eit element $d\in R$ slik at $a+d=0$
• (distributivitet) $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ og $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

$(R,+)$ er med andre ord ei abelsk gruppe og $(R,\cdot )$ er ei semigruppe.

Vidare definisjoner

• $(R,+,\cdot )$ er ein kommutativ ring viss $\cdot$ også er kommutativ: $a\cdot b=b\cdot a$ for alle $a,b\in R$.
• $(R,+,\cdot )$ er ein kropp viss $(R^{\ast },\cdot )$ dannar ei gruppe, der $R^{\ast }$ er mengden av alle elementer i $R$ utanom den additive identiteten $0$.

Døme på ringar

• polynomringen $R[x]$ av alle polynom med koeffisientar i ein kommutativ ring $R$
• ringen $\mathbb{Z}$ av heiltal
• Den endelege ringen ${\mathbb{Z}}_n$ under addisjon og multiplikasjon modulo $n$ for eit naturleg tal $n$

Sjå også

• Gruppe
• Kropp