Transferfunksjon

Transferfunksjon, systemfunksjonen eller overføringsfunksjon definerer eit kontinuerleg lineært system i s-planet, eller eit diskret lineært system z-planet. Både s- og z-planet er synonyme med frekvensplanet, der frekvensen generelt er kompleks, slik at han òg modellerer demping. Føremonen med å arbeida med transferfunksjonar og signal i $s$-planet eller $z$-planet er at mange matematiske operasjonar er enklare i $s$-planet og $z$-planet enn i tidsplanet. Transferfunksjonar spelar ei viktig rolle i samband med signalhandsaming, reguleringsteknikk, telekommunikasjon, elektroakustikk, elektronikk, osb.

Kontinuerleg system

Samanhengen mellom impulsrespons og transferfunksjon, for eit tidskontinuerleg system.

Transferfunksjonen til eit tids-kontinuerleg SISO-system er generelt ein rasjonal funksjon av forma

$H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{ℒ\{y(t)\}}{ℒ\{u(t)\}}=\frac{B(s)}{A(s)}$

$=\frac{b_0+b_1{s}^{-1}+b_2{s}^{-2}++b_3{s}^{-3}+\cdots +b_M{s}^{-M}}{1+a_1{s}^{-1}+a_2{s}^{-2}+a_3{s}^{-3}+\cdots +a_N{s}^{-N}}$

$=\frac{\sum _{i=0}^M{b}_i{s}^{-i}}{1+\sum _{j=1}^N{a}_j{s}^{-j}},$

der $Y(s)=ℒ\{y(t)\}$ er Laplace-transforma til utgangssignalet $y(t)$ og $U(s)=ℒ\{u(t)\}$ er Laplace-transforma til inngangssignalet $u(t)$. Når transferfunksjonen er kjend kan vi finna utgangssignalet som produktet av transferfunksjonen og Laplace-transforma av inngangssignalet:

$Y(s)=H(s)U(s).$

I tidsplanet finn ein utgangssignalet som foldinga av impulsresponsen $h(t)$ og inngangssignalet $u(t)$:

$y(t)=h(t)\ast u(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(t)u(t-\tau )d\tau .$

Multiplikasjon er ein enklare operasjon enn folding, så det er som oftast lettare å arbeida med transferfunksjonar enn med impulsresponsar og signal i tidsplanet.

Polar og nullpunkt

Om vi faktoriserer tellar- og nevnar-polynomena $B(s)$ respektivt $A(s)$ får vi $H(s)$ på forma:

$H(s)=b_0\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots (s-z_M)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_N)}{s}^{N-M}=b_0\frac{\prod _{i=1}^M(s-z_i)}{\prod _{i=1}^N(s-p_i)}{s}^{N-M}.$

Når $s$ er lik en av røtene til tellarpolynomet ($s=z_i)$ ser vi at $H(s)=0$. Dei $M$ komplekse verdiene $z_i$, som resulterer i at $H(s)$ blir lik null, blir difor kalla «nullpunkta» til transferfunksjonen $H(s)$. Tilsvarende ser vi at når $s$ er lik en av røtene til nevnerpolynomet (når $s=p_i)$ går verdien til $H(s)$ mot $\mathrm{\infty }$. Røtene til nevnarpolynomet blir kalla «polane» til transferfunksjonen. Transferfunksjonen $H(s)$ er fullstendig bestemt av polene og nullpunktene, saman med konstanten $b_0$.

Diskret system

Samanhengen mellom impulsrespons og transferfunksjon, for eit tidsdiskret system.

Transferfunksjonen til eit tids-diskret LTI-system SISO-system har forma

$H(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{𝒵\{y(n)\}}{𝒵\{u(n)\}}=\frac{B(z)}{A(z)},$

$=\frac{b_0+b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}++b_3{z}^{-3}+\cdots +b_M{z}^{-M}}{1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}+a_3{z}^{-3}+\cdots +a_N{z}^{-N}}$

$=\frac{\sum _{i=0}^M{b}_i{z}^{-i}}{1+\sum _{j=1}^N{a}_j{z}^{-j}},$

der $Y(z)=𝒵\{y(n)\}$ er Z-transformasjonen til utgangssekvensen $y(n)$ og $U(z)=𝒵\{u(n)\}$ er Z-transformasjonen til inngangssekvensen $u(n)$ (Med sekvens meiner ein sampla signal). Når transferfunksjonen er kjend kan vi finna utgangssignalet som produktet av transferfunksjonen og Z-transforma av inngangssekvensen:

$Y(z)=H(z)U(z).$

I tidsplanet finn ein utgangssekvensen som foldinga av impulsresponsen $h(n)$ og inngangssignalet $u(n)$:

$y(n)=h(n)\ast u(n)={\Sigma }_{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(m)u(n-m).$

Føremonen med å arbeida i $z$-planet er den same som for $s$-planet, at matematiske operasjonar er enklare enn i tidsplanet.

Polar og nullpunkt

Om vi faktoriserer tellar- og nevnar-polynomena $B(z)$ respektivt $A(z)$ får vi $H(z)$ på forma:

$H(z)=b_0\frac{(z-z_1)(z-z_2)\cdots (z-z_M)}{(z-p_1)(z-p_2)\cdots (z-p_N)}{z}^{N-M}=b_0\frac{\prod _{i=1}^M(z-z_i)}{\prod _{i=1}^N(z-p_i)}{z}^{N-M}.$

Når $z$ er lik en av røtene til tellarpolynomet ($z=z_i)$ ser vi at $H(z)=0$. Dei $M$ komplekse verdiene $z_i$, som resulterer i at $H(z)$ blir lik null, blir difor kalla «nullpunkta» til transferfunksjonen $H(z)$. Tilsvarende ser vi at når $z$ er lik en av røtene til nevnerpolynomet (når $z=p_i)$ går verdien til $H(z)$ mot $\mathrm{\infty }$. Røtene til nevnarpolynomet blir kalla «polane» til transferfunksjonen. Transferfunksjonen $H(z)$ er fullstendig bestemt av polene og nullpunktene, saman med konstanten $b_0$.

Sjå òg

• Impulsrespons
• s-planet
• z-planet
• Laplace-transformasjon
• Z-transformasjon