Metrisk rom

Eit metrisk rom i matematikk er ei mengd der det er definert ein metrikk eller eit avstandsmål mellom to vilkårlege element i mengda.

Eit metrisk rom har ein struktur berre bygd opp omkring avstanden mellom to objekt, og definisjonen gjer det mogleg å studere matematiske samanhengar basert på dei formelle eigenskapane til avstandsmålet. Eit matematisk resultat der beviset byggjer eine og åleine på dei generelle eigenskapane til ein metrikk, vil vere gyldig i alle metriske rom.

Formell definisjon

Eit metrisk rom $(V,d)$ er ei mengd $V$ der det er definert ein metrikk $d$, det vil seie ein funksjon som for to element i mengda returnerer eit ikkje-negativ reelt tal:

$d:V\times V\to {ℝ}^{+}$

Funksjonen må oppfylle følgjande aksiom. For alle $x,y,z\in V$, har me

• (ikkje-negativitet) $d(x,y)\ge 0$
• $d(x,y)=0$ viss og berre viss $x=y$
• (symmetri) $d(x,y)=d(y,x)$
• (trekantulikskapen) $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$

Komplette metriske rom

Eit metrisk rom $(V,d)$ blir sagt å vere komplett dersom ei kvar Cauchyfølgje konvergerer til eit element som òg ligg i $V$.

Mengda av reelle tal $ℝ$ under metrikken $d(x,y)=|x-y|$ er eit komplett metrisk rom. Det er derimot ikkje mengda av rasjonale tal $\mathbb{Q}$ med same metrikk. I $\mathbb{Q}$ er det mogleg å konstruere Cauchyfølgjer som konvergerer mot eit grense som sjølv ikkje er eit rasjonalt tal.

$ϵ$-omegn

Ein $ϵ$-omegn til eit element $a$ i eit metrisk rom $(V,d)$ er definert som ei mengd

$\{x\in V|d(x,a)<ϵ\}$

Ei punktert $ϵ$-omegn er definert tilsvarande ved å ekskludere elementet $a$:

$\{x\in V|0<d(x,a)<ϵ\}$

Avgrensa mengd i eit metrisk rom

Ei undermengd $S$ i eit metrisk rom $(V,d)$ er avgrensa dersom det eksisterer eit objekt $x\in S$ og ein positiv konstant $M$ slik at for alle $y\in S$

$d(x,y)<M$

Døme på metriske rom

• Mengda av reelle tal $ℝ$ under metrikken $d(x,y)=|x-y|$ er eit metrisk rom. Meir generelt er alle dei euklidske romma ${ℝ}^n$ metrisk rom.
• Eit kvart normert vektorrom er òg eit metrisk rom definert med metrikken $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Metrisk rom» frå Mal:Wikipedia-utgåve, den 14. januar 2012.