Norm i matematikk

Ei norm er i matematikk ein funksjon som tilordnar ei lengd til einkvar vektor i eit vektorrom. Lengda er ein reell skalar og vil vere positiv for alle vektorar, bortsett frå for nullvektoren, som har lengd lik null.

Eit vektorrom er ein spesiell type metrisk rom, der ein i tillegg til avstandsmålet i eit metrisk rom òg har formalisert omgrepet lengd av individuelle element i rommet. I og med at norma introduserer eit avstandsmål i rommet, vil norma òg introdusere ein topologi i rommet.

Eit vektorrom der det er definert ei norm vert kalla eit normert rom eller eit normert vektorrom. Eit gjeve vektorrom kan vere utgangspunkt for ei rekkje ulike normerte rom, alt etter kva for ei norm som blir definert i rommet.

Dersom alle cauchyfølgjer i rommet konvergerer mot ei grense som òg ligg i rommet seiast vektorrommet å vere komplett. Eit komplett normert vektorrom kallast eit banachrom.

Formell definisjon

Ei norm definert i eit vektorrom $V$ er ein funksjon $f:V\to {ℝ}^{+}$, kor ${ℝ}^{+}$ er mengda av reelle ikkje-negative tal. For alle vektorar $x$ og $y$ i vektrorrommet og for alle skalarar $\alpha$ skal funksjonen oppfylle følgjande eigenskapar:

$f(x)\ge 0$

$f(x)=0⟺x=0$

$f(\alpha x)=|\alpha |f(x)$

$f(x+y)\le f(x)+f(y)$

Den siste uliskapen vert kalla trekantulikskapen.

Norma til ein vektor ${\displaystyle }$ vert vanlegvis skriven $||x||$ i staden for funksjonforma $f(x)$.

Eigenskapar

Ei vilkårleg norm vil alltid oppfylle relasjonen

$||x-y||\ge |||x||-||y|||$

To normer $||\cdot |{|}_1$ og $||\cdot |{|}_2$ definert i same vektorrom vert sagt å vere ekvivalente dersom det eksisterer konstantar m og M slik at

$m||x|{|}_2\le ||x|{|}_1\le M||x|{|}_2$

Den euklidske norma

Ei velkjend norm for vektorromma ${ℝ}^2$ og ${ℝ}^3$ er den såkalla euklidske norma. Definisjonen av denne norma samsvarer med det ein normalt vil forbinde med lengda av ein vektor eller eit linjestykke.

For ein vektor $v=(x,y)$ i planet ${ℝ}^2$ er den euklidske norma definert ved

$||v||=\sqrt{x^2+y^2}$.

For ein vektor $v=(x,y,z)$ i det tre-dimensjonale rommet ${ℝ}^3$ er den euklidske norma definert ved

$||v||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Meir generelt kan ein definere ei euklidsk norm som ei norm avleidd frå eit indreprodukt:

$||v||=<v,v{>}^{1/2}$.

Det euklidske rommet er utstyrt med ei euklidsk norm, saman med eit indreprodukt.

$p$-normer i koordinatrom

Einingssirklar i ${ℝ}^2$ med omsyn til forskjellige normer.

For vektorrommet ${ℝ}^k$ kor $k$ er eit vilkårleg positivt heiltal, vil ein vektor kunne skrivast på forma

$x=(x_1,x_2,\dots ,x_k)$,

der $x_i$ er koordinatane i rommet. For eit slikt koordinatrom kan ein definere ein familie av normer kalla $p$-normer eller også Hölder-normer:

$||x|{|}_p=\sqrt[p]{\sum _{i=1}^k|x_i{|}^p}p\ge 1$.

Den euklidske norma er identisk med 2-norma. Den følgjande norma vert rekna som eit spesialtilfelle i familien, ved å la $p$ gå mot uendeleg:

$||x|{|}_{\mathrm{\infty }}=\max \{x_i|1\le i\le k\}$

Figuren til høgre viser området i ${ℝ}^2$ definert av einingssirkelen $||x|{|}_n=1$ for ulike verdiar av $n$.

Trekantulikskapen for desse normene er eit spesialtilfelle av minkowskiulikskapen:

${(\sum _{i=1}^k|x_i+y_i{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{i=1}^k|x_i{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{i=1}^k|y_i{|}^p)}^{1/p}$

$p$-normer i funksjonsrom

Vektorrommet av funksjoner $f(t)$ definert på $[0,1]$, og med eigenskapen

${\int }_0^1|f(t){|}^{p}dt<\mathrm{\infty }1\le p<\mathrm{\infty }$

kan utstyrast med norma

$||f(t)|{|}_p={[{\int }_0^1|f(t){|}^{p}dt]}^{1/p}$

Det normerte rommet som definerast på denne måten vert ofte skriven med $L^p[0,1]$.

Norma til ein lineær transformasjon

Ein lineær transformasjon frå eit normert vektorrom $V$ inn i eit normert vektorrom $U$ vert sagt å vere avgrensa dersom det eksisterer konstantar $K$ slik at

$||Tv||\le K||v||$

Den minste verdien for $K$ definerer ei norm for operatoren $T$. Frå definisjonen følgjer det at

$||Tv||\le ||T||||v||$.

Formelt kan begge dei to følgjande ekvivalente definisjonane nyttast for norma:

$||T||=\underset{v\ne 0}{\sup }\frac{||Tv||}{||v||}||T||=\underset{||v||=1}{\sup }||Tv||$

Matrisenormer

Ei matrisenorm er ei vektornorm i eit vektorrom der elementa i rommet (vektorane) er matriser. Ho måler altså storleiken på ei matrise i kontekst av eit vektorrom der elementa i rommet er matriser.

Sidan ei matrise representerer ein linær transformasjon mellom endeleg-dimensjonale rom, gjelder definisjonen av ei norm for generelle lineære transformasjonar òg for ei matrise. Basert på denne generelle definisjonen kan ein lage ei rekkje ulike normer for matriser, og nokre av desse opptrer under fleire alternative namn. Eit velkjent døme er 2-norma, òg kalla euklidsk norm, Froebenius-norm, Hilbert-Schmidt-norm og Schur-norm:

$||A|{|}_2=\sqrt{\mathrm{tr}(A^{H}A)}$

Operatornorm

Alle lineære operatorar har ei tilsvarande operatornorm som måler storleiken til den lineære operatoren. Ein mogleg definisjon på ei matrisenorm kan vera å definera ho som ei operatornorm.

La $x$ vera ein vektor frå domenet $K^n$ til lineæravbildinga representert ved matrisa A. Då vil matrisenorma for A vera definert som den maksimale norma ein kan få av resultatvektoren som oppstår ved å gjera ei avbilding med matrisa A:

$||A||=ma{x}_{x\in {𝕂}^n,x\ne 0}\frac{||Ax||}{||x||}$

Dette kan generaliserast for alle p-vektornormer:

$||A|{|}_p=ma{x}_{x\in {𝕂}^n,x\ne 0}\frac{||Ax|{|}_p}{||x|{|}_p}$

Sjå òg

• Euklidisk geometri
• Ikkje-euklidsk geometri

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Norm (matematikk)» frå Mal:Wikipedia-utgåve, den 20. september 2011.