Hyperbolsk funksjon

Ein hyperbolsk funksjon er funksjonane sinh (sinus hyperbolicus), cosh (cosinus hyperbolicus), tanh (tangens hyperbolicus), coth (cotangens hyperbolicus), sech (secans hyperbolicus) og csch (cosecans hyperbolicus).

Her er e grunntalet i det naturlege logaritmesystemet.

Dei hyperbolske funksjonane har eigenskapar som er analoge med dei trigonometriske funksjonane. På same måte som $\sin x$ og $\cos x$ kan nyttast til å parametrisere ein sirkel, kan dei hyperbolske funksjonane $\sinh x$ og $\cosh x$ parametrisere ein hyperbel.

Standard algebraiske uttrykk

sinh, cosh og tanh

csch, sech og coth

Dei hyperbolske funksjonane er :

• Hyperbolsk sinus:

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}-1}{2e^x}$

• Hyperbolsk cosinus:

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}+1}{2e^x}$

• Hyperbolsk tangens:

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$

• Hyperbolsk cotangens:

$\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}$

• Hyperbolsk secans:

$\mathrm{sech}x={(\cosh x)}^{-1}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}+1}$

• Hyperbolsk cosecans:

$\mathrm{csch}x={(\sinh x)}^{-1}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}-1}$

Hyperbolske funksjonane kan introduserast via imaginære sirkelvinklar:

• Hyperbolsk sinus:

$\sinh x=-\mathrm{i}\sin \mathrm{i}x$

• Hyperbolsk cosinus:

$\cosh x=\cos \mathrm{i}x$

• Hyperbolsk tangens:

$\tanh x=-\mathrm{i}\tan \mathrm{i}x$

• Hyperbolsk cotangens:

$\coth x=\mathrm{i}\cot \mathrm{i}x$

• Hyperbolsk sekant:

$\mathrm{sech}x=\sec \mathrm{i}x$

• Hyperbolsk cosecant:

$\mathrm{csch}x=\mathrm{i}\csc \mathrm{i}x$

der i er den imaginære eininga definert som i² = −1.

Dei komplekse formene i definisjonane over kjem frå Eulerformelen.

Nyttige forhold

$\sinh (-x)=-\sinh x$

$\cosh (-x)=\cosh x$

Dermed:

$\tanh (-x)=-\tanh x$

$\coth (-x)=-\coth x$

$\mathrm{sech}(-x)=\mathrm{sech}x$

$\mathrm{csch}(-x)=-\mathrm{csch}x$

Ein kan sjå at cosh x og sech x er jamne funksjonar, medan dei andre er odde funksjonar.

$\mathrm{arsech}x=\mathrm{arcosh}\frac{1}{x}$

$\mathrm{arcsch}x=\mathrm{arsinh}\frac{1}{x}$

$\mathrm{arcoth}x=\mathrm{artanh}\frac{1}{x}$

Hyperbolsk sinus og cosinus tilfredsstiller identiteten

${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$

som liknar den pythagoreiske trigonometriske identiteten. Ein har òg

${\tanh }^{2}x=1-{\mathrm{sech}}^{2}x$

${\coth }^{2}x=1+{\mathrm{csch}}^{2}x$

for dei andre funksjonane.

Den hyperbolske tangensen er løysinga til det ikkje-lineære grenseverdiproblemet:

$\frac{1}{2}{f}^{″}=f^3-f;f(0)=f^{\prime }(\mathrm{\infty })=0$

Det kan visast at arealet under kurva til cosh x alltid er like bogelengda:

$\text{areal}={\int }_a^b\cosh xdx={\int }_a^b\sqrt{1+{(\frac{d}{dx}\cosh x)}^2}dx=\text{bogelengd}.$

Inverse funksjonar som logaritmar

$\mathrm{arsinh}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$

$\mathrm{arcosh}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1});x\ge 1$

$\mathrm{artanh}x=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x};\left|x\right|<1$

$\mathrm{arcoth}x=\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1};\left|x\right|>1$

$\mathrm{arsech}x=\ln \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x};0<x\le 1$

$\mathrm{arcsch}x=\ln (\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^2}}{\left|x\right|})$

Deriverte

$\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x$

$\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x$

$\frac{d}{dx}\tanh x=1-{\tanh }^{2}x={\text{sech}}^{2}x=1/{\cosh }^{2}x$

$\frac{d}{dx}\coth x=1-{\coth }^{2}x=-{\text{csch}}^{2}x=-1/{\sinh }^{2}x$

$\frac{d}{dx}\text{csch}x=-\coth x\text{csch}x$

$\frac{d}{dx}\text{sech}x=-\tanh x\text{sech}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arsinh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcosh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{artanh}x=\frac{1}{1-x^2}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsch}x=-\frac{1}{\left|x\right|\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arsech}x=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcoth}x=\frac{1}{1-x^2}$

Standardintegral

$\int \sinh axdx=a^{-1}\cosh ax+C$

$\int \cosh axdx=a^{-1}\sinh ax+C$

$\int \tanh axdx=a^{-1}\ln (\cosh ax)+C$

$\int \coth axdx=a^{-1}\ln (\sinh ax)+C$

$\int \frac{du}{\sqrt{a^2+u^2}}={\sinh }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}}={\cosh }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{a^2-u^2}=a^{-1}{\tanh }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C;u^2<a^2$

$\int \frac{du}{a^2-u^2}=a^{-1}{\coth }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C;u^2>a^2$

$\int \frac{du}{u\sqrt{a^2-u^2}}=-a^{-1}{\mathrm{sech}}^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{u\sqrt{a^2+u^2}}=-a^{-1}{\mathrm{csch}}^{-1}\left|\frac{u}{a}\right|+C$

Where C is the constant of integration.

Taylorrekkjer

Det er mogeleg å uttrykke funksjonane over som Taylorrekkje:

$\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Funksjonen sinh x har ei Taylorrekkje med berre odde eksponentar for x. Dermed er han ein oddefunksjon, som er −sinh x = sinh(−x), og sinh 0 = 0.

$\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Funksjonen cosh x har ei Taylorrekkje med berre jamne eksponentar for x. Derfor er han ein jamn funksjon, altså symmetrisk med omsyn til y-aksen. Summen av sinh- og cosh-rekkjene er ei uendeleg rekkje av eksponentialfunksjonen.

$\tanh x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

$\coth x=x^{-1}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}{B}_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi$ (Laurentrekkje)

$\mathrm{sech}x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}-\frac{61x^6}{720}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_{2n}{x}^{2n}}{(2n)!},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{csch}x=x^{-1}-\frac{x}{6}+\frac{7x^3}{360}-\frac{31x^5}{15120}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(1-2^{2n-1})B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi$ (Laurentrekkje)

der

$B_n$ er det n-te Bernoullitalet

$E_n$ er det n-te Eulertalet

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Hyperbolic function» frå Mal:Wikipedia-utgåve, den 21. november 2011.
  • Mal:Wikipedia-utgåve oppgav desse kjeldene: