Matematisk gruppe

Ei gruppe er ein algebraisk struktur $(G,\ast )$ som består av ei ikkje-tom mengd $G$ og ein binær operasjon $\ast :G\times G\to G$ slik at følgande aksiom held. For alle $a,b,c\in G$, har me

• (assosiativitet) $a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c$
• (identitetselement) det finst $e\in G$ slik at $a\ast e=e\ast a=a$
• (inverselement) det finst $a^{-1}\in G$ slik at $a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$

Dersom også

• (kommutativitet) $a\ast b=b\ast a,$

er $(G,\ast )$ ei abelsk gruppe.

Andre teikn i staden for $\ast$ nyttast ofte. T.d., er $\cdot$ mykje brukt og ein skriv ofte $ab$ i staden for $a\cdot b$. Viss $G$ er ei abelsk gruppe, nyttar ein ofte $+$.

Eksempel

• $(\mathbb{Z},+)$ kor $\mathbb{Z}$ er mengda av heiltal og $+$ er ordinær addisjon, er ei abelsk gruppe. Her er identitetselement $0$ og inverselementet til $a\in \mathbb{Z}$ er $-a\in \mathbb{Z}$.

Sjå òg

• Ring
• Kropp
• Abelsk gruppe